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Tenemos signos positivos y negativos en cualquier entorno del origen, se trata, pues de un punto de silla. Falta el origen. Puesto la función se anula en dicho punto, estudiamos su signo en un entorno, por ejemplo, sobre los ejes:.

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Y tenemos que es decreciente, creciente, decreciente y creciente, respectivamente, en los intervalos. Al anularse en el origen y ser creciente y decreciente a su izquierda y a su derecha, respectivamente, deducimos que la función es negativa en un entorno del origen sobre el eje OX.

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No obstante esto no es cierto. Lo anterior nos indica que los criterios de la primera derivada que se utilizaban en las funciones de una variable, no son aplicables para funciones de dos variables. Si f es una función de dos variables, tal source ella misma al igual que sus primeras y segundas derivadas son continuas en un disco abierto B a, br llamamos Hessiano a la expresión:.

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Por tanto, igualamos a 0 las derivadas parciales para obtener un sistema de ecuaciones:. Notemos que la función nunca es negativa por ser la suma de potencias pares, por tanto, el punto crítico debe ser donde se anula la función y, por tanto, se trata de un mínimo absoluto.

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Puesto que la función se anula en el origen, estudiamos el signo de la función en un entorno de éste, por ejemplo, en los ejes. Desde el origen, la función crece sobre el eje OY y, sobre el eje OX, decrece hacia la derecha y crece hacia la izquierda. Por tanto, se trata de un punto de silla.

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Puesto la función se anula en dicho punto, estudiamos su signo en un entorno, por ejemplo, sobre los ejes:. Y tenemos que es decreciente, creciente, decreciente y creciente, respectivamente, en los intervalos.

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Las derivadas parciales son Los puntos críticos son aquellos que anulan a las derivadas parciales. Representamos las distintas regiones: Ahora estudiamos el signo de la función en las distintas regiones: Tenemos signos positivos y negativos en cualquier entorno del origen, se trata, pues de un punto de silla.

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Puesto la función se anula en dicho punto, estudiamos su signo en un entorno, por ejemplo, sobre los ejes: La función es positiva sobre el eje OY. Con todo ello, concluimos que el origen es un punto de silla.

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